miércoles, 1 de mayo de 2013

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.


FUNCIONES trigonométricas


Cada par de Lados homólogos (Que se ubican en La MISMA POSICION) De Un Triángulo Rectángulo Cuyos Angulos de sean Iguales seran proporcionales.
 Para Qué MAS FACIL mar interpretar Lo Que sí no está explicando El Típico Triángulo de Catetos de 3 cm y 4 cm, QUE TENDRA sU hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos Otros dos triángulos Donde los Catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple de (según rubro Corresponda.


La proporcionalidad also Florerias escribirse respecto a los Lados homólogos.





Lo Importante de destacar es Que el Ángulo en Todos los Casos es el Mismo.
Este Hecho es Importante ya Que permite relacionar a los Ángulos con La Razón de la PROPORCION de los Lados. This Relación presentación la Propiedad de unicidad y la Propiedad de completitud(para Cada par de Lados homólogos EXISTE Siempre ONU Único valor (Razón) Relacionado con Una determinada [EXISTE y es Única] amplitud angular), Por lo Tanto sí Establece Una Función, una Que las llamaremos trigonométrica.

Funciones Trigo nométricas:
Si dividimos:

llamaremos a this Función: 

     
 Seno y la denotaremos porción Sen ( a) 
     
 Coseno y la denotaremos porción Cos ( a) 
     
 Tangente y la denotaremos Por Tan ( a) 
     
 Cotangente y la denotaremos porción Cuna ( a) 
     
 Secante y la denotaremos porción Sec ( a) 
     
 Cosecante y la denotaremos porción Csc ( a) 
NOTA: Funciones Seno Ÿ cosécante inversas Las hijo. Also hijo inversas las Funciones Coseno y Secante. De Finalmente hijo inversas las Funciones Tangente con cotangente.
Ésto es:

Las Funciones trigonométricas Funciones Periódicas hijo, repiten el valor de imagen Cada 360 º. De TENEMOS ESA Manera Que: cos 60 º = cos 420 º = 0,5
Grafiquemos, MEDIANTE tablas, las Siguientes Funciones Tomando Valores angulares desde 0 º Hasta 360 º. Para facilitar el Trabajo tomemos una Intervalos Ángulos de 45 º:
Función Seno :
unsenun
00
450,71
901
1350,71
1800
225- 0,71
270-1
315- 0,71
3600
Función Coseno :
uncos a
01
450,71
900
135-0,71
180-1
2250,71
2700
3150,71
3601
Función Tangente :
untg un
00
451
90/ / / /
135- 1
1800
2251
270/ / / /
315- 1
3600
/ / / / significa Que No Se Puede Calcular el valor de la Función, el Resultado no EXISTE (asíntota).
Función cotangente :
unCOTGun
0/ / / /
45- 1
900
1351
180/ / / /
225- 1
2700
315/ / / /
360- 1
Función Secante
unsegun
01
451,41
90/ / / /
135-1,41
180-1
2251,41
270/ / / /
3151,41
3601
Función cosecante :
unCosecun
0/ / / /
451,41
901
1351,41
180/ / / /
225- 1,41
270-1
315- 1,41
360/ / / /
Sistema en circulares de medicion de Ángulos:
El Sistema de medicion de Ángulos Que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia en Seis contradictorio de 60 º Cada una, obteniendo sin giro completo de 360 º. De Cuando sí quiso utilizar Este Sistema en Física, párr Poder Calcular el camino DESARROLLADO POR Alguna partícula en Trayectoria circular, sí encontraron Que El Sistema sexagecimal no los ayudaba Pues, matemáticamente, no no está Relacionado con el arco Que Describir el Cuerpo al MoveRSE. De Manera ESA se "Invento" otro Sistema angular, El Sistema circular, Donde La Medida del Ángulo sí obtiene al Dividir el arco y el de radio de la circunferencia. In this Sistema de las Naciones Unidas Ángulo llano (al Dividir el arco por El radio) mide 3,14 (Que es el valor Aproximado de " p "). De ESA Manera sin giro completo (Que es lo Mismo Que dos Ángulos llanos) mide 2 p .
180 º = p      ó 360 º = 2 p
In this in English Caso LÃ circunferencia Queda Dividida es cuatrista contradictorio Iguales de 90 º ( p / 2 ) Cada una, Que va desde 0 º Hasta 360 º ( 2 p ), a las Que se denominador Cuadrantes: 
er cuadrante: 0 º a 90 º
hacer cuadrante: 90 º a 180 º
er cuadrante: 180 º a 270 º
de cuadrante: 270 a 360 º 
Funciones trigonométricas de Ángulos Complementarios
Podemos desarrollas las Funciones trigonométricas de Ángulos Complementarios MEDIANTE triángulos Rectangulos, ya Que l os Ángulos Que ningún hijo rectos hijo Complementarios Entre si:  a + b = 90 º  Þ b = 90 º - una
 
tg (90 - a ) = COTG un
cotg (90 - a ) = tg un
s (90 - a ) = cosec un
cosec (90 - a ) = s un
Funciones trigonométricas de los Ángulos Complementarios Opuestas Las hijo. En Caso de los Ángulos de (90 º ) LOS ANGULOS caen es El Primer Cuadrante Y Los Signos Positivos hijo tareas pendientes.
Funciones trigonométricas de Ángulos suplementarios 
Los Ángulos suplementarios si suman Entre 180 º: a + b = 180 º   Þ b = 180 º - una
En Este Caso las Funciones Quedan Iguales SÓLO Cambia el signo según rubro el cuadrante Que caiga: sen (180 º - a ) = sen un
Signos de las Funciones trigonométricas según rubro el cuadrante :
En el cuadrante imprimación , VEMOS Que: el cateto adyacente SE UBICA Sobre el eje x , Asi Que lo denominaremos " x "; al cateto Opuesto, Que se UBICA Sobre el eje y , lo llamaremos " y ". La hipotenusa, Que es el de radio de la circunferencia, la designaremos " .


Ya Que " x "," y "," r ", Positivas hijo, 'entonces', TODAS LAS FUNCIONES trigonométricas es El Primer Cuadrante Positivas hijo.
Sen Csc
Bronceado
 Cuna Cos Segundo
+
+
+
+
+
+
En el Segundo cuadrante , el cateto adyacente cae Sobre el eje negativo de las x, MIENTRAS Que el cateto Opuesto Sigue Sobre el ele Positivo de las y . El radio (la hipotenusa) Sigue siendo Positiva en Todos Los Cuadrantes. Por lo Tanto: el Coseno, Tangente y la suspensión inversas (Secante y cotangente) Tienen Resultados Negativos.
Sen Csc
Bronceado
 Cuna Cos Segundo
++----
En el Tercer cuadrante , Tanto el cateto adyacente Como el cateto Opuesto TIENEN SUS Signos Negativos, ya Que Caen Sobre la instancia de parte negativa de los ejes. En Este Caso, la Tangente (y do inversa, la cotangente) resultan Positivas ( - : - = + )
Sen Csc
Bronceado
 Cuna Cos Segundo
--++--
En el Cuarto cuadrante, el cateto adyacente Vuelve a Estar Sobre el eje Positivo de las x , MIENTRAS Que el cateto Opuesto Sigue Sobre el eje negativo de las y . En Este Caso, las Únicas Funciones Cuyo Resultado Positivo Sera hijo el Coseno y la Secante.
Sen Csc
Bronceado
 Cuna Cos Segundo
----++

Resumamos los Signos de las Funciones trigonométricas según rubro el cuadrante en tres cuadros SINOPTICOS:
 Cuadrantes
IIYo
IIIIV
Seno - cosécante
++
--
 oseno - Secante 
-+
-+
 angente - cotangente
-+
+-

ANGULO DE LA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULO DE LA CIRCUNFERENCIA 

Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.
La medida del arco AB es la del ángulo central AOB.Arco AB = Angulo AOB

 Arco AB = Ángulo AOB

Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia.

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en  la circunferencia.El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.
El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.

Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.
La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.

Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.
La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

RECTAS Y SEGMENTOS EN EL CÍRCULO


RECTAS Y SEGMENTOS EN EL CÍRCULO

Desde el punto de vista geométrico, el estudio del círculo ha resultado ser muy interesante, y lo es más cuando se logra encontrar la relación que existe entre los elementos que lo constituyen.

Hay una gran cantidad de cuerpos y objetos que presentan esta figura, como el caso de una moneda, la base de recipientes en forma cilíndrica, la rueda de una bicicleta, etcétera.

Antes de profundizar en el tema, es conveniente considerar que no hay que confundir lo que es la circunferencia con el círculo; por ello se procede a identificar ambas partes en la siguiente figura.





Como puede observarse en la figura anterior, el contorno es la circunferencia, en tanto que el interior es el círculo.

A continuación se identificaron las rectas que cortan o tocan a la circunferencia, así como la que se encuentra ubicada fuera de la misma.




La recta (1) corta la circunferencia en dos puntos; por lo tanto, se tiene que los puntos de esta recta son tanto interiores como exteriores a la circunferencia. Este tipo de rectas son conocidas como secantes.

La recta (2) toca a la circunferencia en un solo punto, el cual recibe el nombre de punto de tangencia; los demás puntos de la recta se localizan en el exterior de la circunferencia. Este tipo de rectas son conocidas como tangentes.

La recta (3) se encuentra fuera de la circunferencia, es decir, se ubica en el exterior de la misma y, por no tener ningún punto de contaco con ella, se le conoce como recta exterior.

Ahora se identificaron, en la siguiente figura, los segmentos y arcos que se pueden trazar en el círculo o en la circunferencia, según sea el caso.



Como puede observarse, en la figura se han trazado los siguientes segmentos de recta.

El segmento AB es un radio del círculo. Cada punto de la circunferencia es el extremo de otro radio. Un radio es el segmento que une al centro del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia.

El segmento CD es una cuerda del círculo. Cada par de puntos de la circunferencia determina una cuerda del circulo una cuerda es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

El segmento GH es un diámetro del círculo. El diametro del círculo es un segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro del círculo; se le considera como la cuerda de mayor tamaño que divide al círculo en dos partes congruentes

LM es un arco del círculo. Se define un arco como la parte continua de la circunferencia, limitada o comprendida entre dos puntos extremos, y se escribe LM para representarlo.

CIRCUNFERENCIA


circunferencia
La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
Elementos de la circunferenciaCentro de la circunferencia
Radio de la circunferencia
Cuerda
dibujo
Diámetro
dibujo
Arco
dibujo
Semicircunferencia
dibujo
Longitud de una circunferencia
radio y diametro de la circunferencia
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central
dibujo
Ángulo inscrito
dibujo
Ángulo semiinscrito
dibujo
Ángulo interior
dibujo
Ángulo exterior
dibujo
Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
Interior
dibujo
Punto sobre la circunferencia.
dibujo
Punto exterior a la circunferencia
dibujo
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Recta secante
dibujo
Recta tangente
dibujo
Recta exterior
dibujo
Posiciones relativas de dos circunferencias
Ningún punto en común
Exteriores
dibujo
Interiores
dibujo
Concéntricas
dibujo
Un punto común
Tangentes exteriores
dibujo
El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
El diámetro mide el doble del radio.
Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.
Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.
La longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro.
longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.
longitud de la circunferencia
El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dosradios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.
expresión
El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantesa ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
expresión
El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otrotangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.
expresión
Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.
expresión
Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:
dibujodibujo
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.
expresión
La distancia del punto al centro es menor que el radio.
El punto pertenece a la circunferencia.
La distancia del punto al centro es mayor que el radio.
La recta corta a la circunferencia en dos puntos.
La recta corta a la circunferencia en un punto.
No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.
La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.
La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.
Los centros coinciden.
La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.